Производные и дифференциалы метод Гаусса Алгебраические структуры


Математика Производные и дифференциалы примеры решений

От машин путь вел к теоретической механике и к научному изучению движения и изменения вообще. Античность уже дала трактаты по статике, и исследования по теоретической механике нового времени, естественно, опирались на статику классических авторов.

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=xe^{x^2}$. Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке $ x_0=0$. Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,
$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z),$
и положим в нём $ z=x^2$:
$\displaystyle e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2).
$
Теперь умножим левую и правую части этой формулы на $ x$:
$\displaystyle xe^{x^2}=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\frac{x^7}{3!}+\ldots+\frac{x^{2n+1}}{n!}
+xR_n(x^2).$
Заметим, что бесконечно малое при $ x\to0$ выражение $ \tilde R(x)=xR_n(x^2)$ имеет тот же или больший порядок малости, как $ x^{2(n+1)+1}=x^{2n+3}$, и поэтому может рассматриваться как остаточный член $ R_{2n+2}(x)$ в формуле Тейлора для $ f(x)$, а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.      Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически Вычислить длину астроиды

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

        ОпределениеЗначение предела
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to x^0\\ x\in\ell_+}}\frac{f(x)-f(x^0)}{\vert x-x^0\vert}$

называется производной функции $ f(x)$ по направлению оси (или луча) $ \ell$ (или по направлению вектора $ a$ ), вычисленной в точке $ x^0$ . Производная по направлению обозначается $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial\ell}}(x^0)$ или $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial a}}(x^0).$     

Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаёт мгновенную скорость изменения значений функции $ f(x)$ при прямолинейном и равномерном движении точки $ x=x^t$ вдоль оси $ \ell$ в момент $ t=0$ .

Заметим, что если направление оси $ \ell$ совпадает с направлением одной из координатных осей $ Ox_i$ , то производная функции $ f$ по такому направлению, очевидно, равняется (правой) производной функции $ f$ по соответствующей переменной $ x_i$ . Если существует (двусторонняя) частная производная по $ x_i$ , то получаем, что

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x),$

если $ \ell=Ox_i$ .

Используя параметризацию точки на луче $ \ell_+$ вида $ x=x^t=x^0+at$ и замечая, что условие $ x\to x^0,\ x\in\ell_+$ означает, что $ t\to0+$ , получаем:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
\lim_{\substack{x^t\to x^0...
...}{\vert x^0+at-x^0\vert}=
\lim_{t\to0+}\frac{f(x^0+at)-f(x^0)}{t\vert a\vert}.$

Запишем теперь приращение функции, стоящее в числителе, через частные производные с помощью формулы (8.1):

$\displaystyle f(x^0+at)-f(x^0)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)\cdot a_1t+\ldots+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cdot a_nt+{\alpha}(x^0;at).$   

Отсюда

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\ell}(x^0)=
 \lim_{t\to0+}\frac{
 \frac...
...ac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\cdot a_nt+{\alpha}(x^0;at)
 }{t\vert a\vert}=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)\cdot\frac{a_1}{\vert a\vert...
...\frac{a_n}{\vert a\vert}+
 \lim_{t\to0+}\frac{{\alpha}(x^0;at)}{t\vert a\vert}.$   

Найдём предел

Вычислить предел


Труды и усилия Эйлера, Лагранжа, Даламбера и других уже дали наиболее важные теоремы, эти результаты в должном оформлении изложены или в скором времени будут изложены в классических трактатах, и немногочисленные математики следующего поколения должны будут решать только задачи меньшего значения.