Формула Тейлора Асимптоты графика функции Возрастание и убывание функции


Математика Вычисление определенных интегралов примеры решений

Среди последователей Архимеда выдающееся место занимают Симон Стевин, который написал работы о центpax тяжести и по гидравлике (1586 r.), Лука Валерио, давший работы о центрах тяжести (1604 г.) и о квадратуре параболы (1606 г.), и Пауль Гульдин, в сочинении которого «Центробарика» (1641 г.)

Линейные пространства и преобразования

Пример   Постройте параболу
$\displaystyle y=\frac{6x-x^2-13}2,$
найдите ее фокус и директрису.
Решение. Преобразуем уравнение к виду $ 2y+x^2-6x+13=0$ и выделим полный квадрат по переменному $ x$ :
$\displaystyle 2y+(x^2-6x+9)-9+13=0.$
Из этого уравнения получим $ (x-3)^2=-2(y+2)$ . Произведем параллельный перенос осей координат: $ {\tilde x=x-3}$ , $ {\tilde y=y-(-2)}$ , новое начало координат -- $ O_1(3;-2)$ . В новых координатах уравнение параболы примет вид $ {\tilde x^2=-2\tilde y}$ , которое тоже не является каноническим. Но если мы изменим направление оси ординат и переобозначим оси: $ {x'=-\tilde y}$ , $ {y'=\tilde x}$ , то получим уравнение $ {(y')^2=2x'}$ . Это уравнение -- каноническое, $ {2p=2}$ , $ {p=1}$ . Строим оси и параболу (рис. 12.21).


Рис.12.21.Парабола, заданная уравнением $ y=\frac{6x-x^2-13}2$ Элементарная математика Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме.


В системе координат $ x'O_1y'$ фокус имеет координаты $ (0.5;0)$ , а директриса задается уравнением $ {x'=-0.5}$ . В системе координат $ {\tilde xO_1\tilde y}$ координаты фокуса -- $ (0;-0.5)$ , а уравнение директрисы $ {\tilde y=0.5}$ . Наконец, в исходной системе координат $ xOy$ получим фокус $ F(3;-2.5)$ и уравнение директрисы $ {y=-1.5}$ , что и служит ответом к задаче.         

Точку $ x^0$ множества $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ назовём внутренней точкой $ {\Omega}$ , если $ x^0$ входит в $ {\Omega}$ вместе с некоторой своей шаровой окрестностью:

$\displaystyle B=B^{x^0}_{{\delta}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \vert x-x^0\vert<{\delta}\}\sbs{\Omega}.$

(Через $ {\delta}$ обозначен радиус шаровой окрестности $ B$ ; в качестве расстояния $ \vert\cdot\vert$ мы будем брать декартово расстояние между точками, так что расстояние между точками $ {a=(a_1;\dots;a_n)}$ и $ {b=(b_1;\dots;b_n)}$ равняется $ \vert a-b\vert=\sqrt{(a_1-b_1)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2}$ .)

Рис.7.1.

Множество всех внутренних точек множества $ {\Omega}$ называется внутренностью множества $ {\Omega}$ и обозначается $ \mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ .

Множество $ {\Omega}$ называется открытым, если все его точки -- внутренние, то есть если оно совпадает со своей внутренностью: $ {\Omega}=\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ . Открытое множество в $ \mathbb{R}^n$ часто называют также открытой областью.

Параллельный перенос системы координат

Нарисуйте кривую и найдите ее фокусы.

Постройте кривую

Нарисуйте поверхность .

Производная функции, заданной неявно

Возьмём то же уравнение  и найдём производную левой части

Правило Крамера

Решите систему уравнений

    

Вычислить предел
Задолго до изобретения книгопечатания появлялись книги о машинах, сначала эмпирические описания (Киезер (Kyeser), начало пятнадцатого века), затем более теоретические, как книга Леона Баттисты Альберти об архитектуре (ок. 1450 г.) и рукописи Леонардо да Винчи (ок. 1500 г.).