Примеры исследования функций и построения графиков Метод одной касательной


Математика вычисление пределов примеры

Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления самого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике – путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике – принципа Даламбера

Уравнение плоскости

Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ .
Решение. Векторное произведение $ {\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор $ {{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}...
...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert=
6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$
то есть $ {\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу(11.1), получим
$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: $ 6x-y+4z+4=0$ .

Заметим, что доказанная формула, в отличие от формулы замены переменной в неопределённом интеграле, даёт нам возможность после перехода к интегралу от функции новой переменной $ x$ не возвращаться к исходному интегралу от функции переменной $ t$ . После того, как замена сделана, мы можем "забыть", как выглядел исходный интеграл, и продолжать преобразования интеграла от функции новой переменной. Именно на том, что к старой переменной возвращаться не приходится, мы и получаем экономию усилий при применении формулы замены переменной в определённом интеграле, по сравнению с тем, что получилось бы, если бы мы просто нашли первообразную и применили формулу Ньютона - Лейбница. Криволинейный интеграл второго рода Математика Примеры вычисления интегралов Дифференциальные уравнения

Обратим ваше внимание на важную особенность формулы: кроме подынтегрального выражения, при замене переменной меняются и пределы интегрирования. Действительно, в интеграле по новой переменной $ x$ должны быть указаны пределы изменения именно $ x$ (то есть $ a$ и $ b$ ), в то время как в исходном интеграле по переменной $ t$ указаны пределы изменения $ t$ (то есть $ {\alpha}$ и $ {\beta}$ )!

Советы о том, какая замена целесообразна для вычисления того или иного интеграла, -- те же самые, что и при вычислении неопределённых интегралов, так что тут ничего нового изучать не придётся.

Непрерывность функций
«Аналитическая механика» Лагранжа – это, может быть, наиболее ценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая появилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел.