Примеры исследования функций и построения графиков Метод одной касательной


Математика вычисление пределов примеры

Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления самого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике – путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике – принципа Даламбера

Обратная функция

Если $ f$-- ограничение функции $ \sin$ на отрезок $ [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ (это ограничение называется главной ветвью синуса), то отображение $ f:[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\to[-1;1]$-- биекция.

Рис.1.31.Главная ветвь синуса Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл Математика примеры решения заданий курсовой работы

Поэтому существует обратная функция $ f^{-1}$, называемая арксинусом и обозначаемая $ \arcsin$ или $ \sin^{-1}$ (второе обозначение употребляется в англоязычной математической и инженерной литературе). Таким образом,
$\displaystyle \arcsin:[-1;1]\to[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}],$

$\displaystyle {\varphi}=\arcsin x,$ если $\displaystyle \sin{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].$

 

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Теорема   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют на отрезке $ [a;b]$ непрерывные производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$ . Тогда имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx.$

    

        Замечание   Заметим, что эту формулу можно записать в виде
$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx,$

где выражение
$\displaystyle f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения $ u=f(x)$ и $ v=g(x)$ , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:
$\displaystyle \int_a^bu\;dv=uv\Bigr\vert _a^b-\int_a^bv\;du.$

    

       Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=F(b)-F(a)$

и $\displaystyle \int_a^bg(x)f'(x)\;dx=G(b)-G(a).$

Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается  или  ). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок  (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):

Функция арктангенс (обозначается  , или  , или  )-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал  , то есть обратная к главной ветви тангенса:

Непрерывность функций
«Аналитическая механика» Лагранжа – это, может быть, наиболее ценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая появилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел.