Разложение вектора по базису Непрерывность функций Производные высших порядков


Математика Комплексные числа примеры решений

Исследования по вариационному исчислению относятся к раннему периоду деятельности Лагранжа. Мемуары Эйлера по этому вопросу появились в 1755 г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей той простотой, которая желательна в вопросе чистого анализа».

Раскрытие неопределенностей

Пример Вычислить предел .
Решение. Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем     

Пример Вычислить предел .
Решение. Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители.       (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2), где x1 и x2 - корни квадратного уравнения.) Использование правила Лопиталя Два основных метода интегрирования

Аналогично,       Таким образом, предел равен      

 Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:

 Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

 При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа.

 

.

 

 Из геометрических соображений видно:

 

 

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

Вычислить предел . Вычислить предел . . .

Пример Найти предел .Раскрытие неопределенностей

Бесконечные последовательности Функция f (n), определенная на множестве натуральных чисел, образует последовательность действительных чисел. Значения an = f (n), которые принимает эта функция, называются членами последовательности.

Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует). 

Определить, сходится или расходится последовательность ?

Определить, является ли последовательность монотонно возрастающей, убывающей или немонотонной?

Бесконечно малые функции

Найти предел . Найти предел .

Вычислить предел .

Вычислить предел .

Лагранж сразу применил свою теорию к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову формулировку принципа наименьшего действия – результат плачевного эпизода с «Акакием». Многие из основных идей «Аналитической механики» (Mecanique analytique, 1788 г.) восходят к туринскому периоду жизни Лагранжа.
Формула Тейлора