Разложение вектора по базису Непрерывность функций Производные высших порядков


При этих поисках нового метода схоластические представления применялись не только Кавальери, но и в трудах бельгийского иезуита Григория Сен Венсана и его учеников и помощников Пауля Гульдина и Андре Такке

Непрерывность функций

Определение непрерывности по Гейне Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке
( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что выполняется соотношение На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :
  1. Функция f (x) определена в точке x = a;
  2. Предел существует;
  3. Выполняется равенство . Пределы и непрерывность функции Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а. Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.
  4. Определение непрерывности по Коши (нотация ) Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство Определение непрерывности в терминах приращений аргумента и функции Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство где .

    Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

    Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

    Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

    Применяя записанную выше формулу, получаем:

  5. Теоремы непрерывности

    Непрерывность элементарных функций Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения. Пример Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.

    Используя определение непрерывности в терминах приращений, показать, что функция непрерывна в любой точке своей области определения.

    Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что .

    Показать, что кубическое уравнение имеет решение в интервале (2,3)

    Пример Задана функция   Определить коэффициенты a и b, при которых функция f (x) является всюду непрерывной.

    Определение предела функции Определение предела по Коши и Гейне Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

    Пример Используя - определение предела, показать что .

    Используя - определение предела, найти значение δ, соответствующее заданному числу ε для следующего предела  

    Пример Доказать, что .

    Точки разрыва функции Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

    Пример Исследовать функцию на непрерывность.

    Найти точки разрыва функции , если они существуют.

    Найти точки разрыва функции , если таковые существуют.

    Четные и нечетные продолжения

    Разложить по четным гармоникам функцию  

    Построить разложение в ряд Фурье по четным гармоникам для функции

    Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].

    Построить нечетное продолжение функции , заданной в интервале [0, π].

Полностью важность ряда Тейлора была признана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем «Дифференциальном исчислении» (1755 г.). Лагранж добавил к нему остаточный член и положил его в основу своей теории функций
Формула Тейлора