Натуральные и комплексные числа

Материаловедение
Электропроводность твёрдых
диэлектриков
Пределы
Курс лекций по ТОЭ
и типовые задания
Информационные процессы
и технологии
Архитектура персонального компьютера
Операционная система Windows
Microsoft Word работа с документами
Microsoft Access СУБД
Microsoft Excel работа с электронными таблицами
Локальные сети Работа пользователя в сети
Работа в Интернет Электронная почта
Защита компьютерной информации
Алгоритмы и программирование Паскаль
Натуральные и комплексные
числа
Теория информационных
процессов
Эффективная организация обмена информации
Непрерывный или аналоговый сигналы
Дискретизированный или дискретно непрерывные сигналы
Дискретные по уровню или квантованные сигналы
Дискретные по уровню и по времени сигналы
Совокупность технических средств
Количество информации в дискретном сообщении
Энтропия
Свойства энтропии
Энтропия объединения нескольких источников
Условная энтропия и взаимная информация
Дискретные источники сообщений с памятью
Производительность источника дискретных сообщений
Пропускная способность дискретного канала
Задача согласования дискретного источника с дискретным каналом без шума
Кодирование
Теорема Шеннона для канала без шума
Второй способ доказательства прямой теоремы Шеннона
Цифровые сети для
передачи речи и данных
Задача согласования дискретного источника
Теорема Шеннона для дискретного канала с шумом
Методика построения помехоустойчивых кодов
Непрерывные сообщения. Квантование и дискретизация
АИМ - сигнал и его спектр
Математическая модель дискретизированного сигнала
Теорема Котельникова
Оценка ошибок дискретизации
Спектр реального сигнала
Интерполирующий фильтр
Информация в непрерывных сообщениях
Дифференциальная энтропия
Наибольшая дифференциальная энтропия
Энтропия и производительность
Пропускная способность непрерывного канала
Информационный подход
Оценка ошибок квантования
Дифференцирование и
интегральное исчисление
Уязвимость операционных
систем
Узлы компьютера БП
Анализ систем безопасности
Обьектовая концепция Delphi
Встроенные типы данных
Объектно-ориентированное
программирование
Классы-оболочки
графический интерфейс
Основные компоненты
Изображения и звук
Инженерная графика

Понятие натуральных чисел

Понятия «число» и «операция» не так просты, как это может показаться с первого взгляда Приведем без доказательства законы, которые впоследствии позволят определить операции сложения и умножения не только для чисел, но и для гораздо более сложных объектов, таких, как множества, функции, группы и так далее. Приоритет арифметических операций в числовом выражении следующий: вначале выполняются действия в скобках; внутри скобок вначале выполняют умножение и деление, после чего сложение и вычитание.

Делители и кратные Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен. Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных. Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Курс лекций - первый семестр Введение в математический анализ

Сравнения по модулю и признаки делимости

Два натуральных числа a и b , разность которых кратна натуральному числу m , называются сравнимыми по модулю m : a ≡ b (mod m ). Пример Доказать свойство делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр делится на 9. Запишите состоящее из одних девяток натуральное число, которое делится на 17 без остатка.

Система счисления – это совокупность приёмов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционной называется система счисления, в которой используется определённое число знаков для обозначения чисел, но значение каждого символа зависит от того, как этот символ расположен по отношению к другим символам в том же числе Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

Пример Записать число 132 в 1) троичной; 2) пятеричной; 3) семеричной; 4) двенадцатеричной.

Целые числа

Теперь, когда у нас уже определены положение натуральных чисел на координатной прямой и число 0, мы можем расширить числовое множество так, чтобы операция вычитания была определена на всем множестве. Мы помним, что разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Теперь, введя множество отрицательных чисел, мы можем изучить операции на множестве целых чисел

Умножение. Для того, чтобы перемножить два целых числа, нужно перемножить их модули и перед произведением поставить знак плюс (+), если исходные числа были одного знака, и минус (–) – если разного

Обыкновенные дроби

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби. Сокращение обыкновенных дробей Привести дроби к наименьшему общему знаменателю Сложение и вычитание обыкновенных дробей Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби

Десятичные дроби Умножение и деление десятичных дробей Пример Разделить 0,806 : 31. Оказывается, что можно провести и обратную операцию, а именно, по любой десятичной дроби найти обыкновенную дробь, ей равную. Пример Обратить в обыкновенную дробь число 2,14(21)

Иррациональные числа Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел . Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Отношения между числами Найти число по данной величине его указанного процента. Для того чтобы решить эту задачу, нужно данную величину разделить на дробь, выражающую указанный процент.

Понятие о среднем

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключённая между наибольшей и наименьшей из данных величин, называется «средней». В математике наиболее распространены следующие средние. В практической деятельности человека бывают числа двух видов: точные и приближённые . Часто знание лишь о приближённом числе достаточно для понимания сути дела. Иногда употребляют приближённые числа, так как точное не требуется, а иногда точное число невозможно найти в принципе. Округление чисел

Вычислить если Найти

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . Вычислить z 1  +  z 2 и z 1 z 2, где z 1  = 1 + 2 i и z 2  = 2 –  i . Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости.
Отметим следующий важный факт: заданием своего модуля и аргумента комплексное число фиксируется однозначно. Обратное, вообще говоря, неверно: если задано комплексное число z ≠ 0, то его модуль определяется однозначно, а аргумент – нет. Арифметические операции над комплексными числами были определены в предыдущем пункте Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2 i )(3 – 4 i ).
Формулы сокращённого умножения Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения . Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых
Разложение многочлена на множители Часто бывает полезно преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители . В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.
Квадратный трёхчлен Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду Разложить на множители квадратный трехчлен x 2  – 4 x  + 3. Решите уравнение
Корни многочлена Как мы видели выше, методом выделения полного квадрата можно найти корни квадратного трехчлена. В случае многочленов высших степеней найти корни становится гораздо труднее, а иногда и просто невозможно. Попробуем это сделать там, где это достаточно просто.
Пример Разложить на множители многочлен x 3  – 5 x 2  – 2 x  + 16.
Разложить на множители многочлен x 4  + 5 x 3  – 7 x 2  – 5 x  + 6.
Энергосистемы России http://matlub.ru/ Расчет трехфазной цепи при соединении потребителей звездой
Информатика Помехоустойчивые коды и их основные параметры Цифровые сети для передачи речи и данных